SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIÓN 

Una ecuación es un enunciado que declara la igualdad de dos expresiones.  Escribimos una ecuación poniendo el signo de igualdad, “=”, entre las dos expresiones. Ejemplos:

5 = 3 + 2             3x + 1 = 7 + y            2x = x + 1           2(3x +1) - 4 = 6x – 2

ECUACIÓN LINEAL

Pero en este momento a nosotros nos interesan solo las ecuaciones lineales. Ahora recordemos que toda ecuación de la forma ax + by = c (Ecuación General de la Recta) o      y = mx + b (Ecuación Canónica) es una ecuación lineal

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo.

Por lo tanto para que sea un sistema lineal se necesitan mínimo dos ecuaciones lineales. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano cartesiano, de modo que un sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano cartesiano, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas.

Ejemplo: consideremos el siguiente sistema.

Si en estas ecuaciones despejamos la y, obtenemos su forma explícita o canónica:

Estas dos rectas se cortan en el punto:

Esta es la grafica de este sistema lineal

TIPOS DE SOLUCIÓN

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

Sistema compatible: si admite soluciones

·   Sistema compatible determinado: si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

·  Sistema compatible indeterminado: el sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Sistema incompatible: el sistema no admite ninguna solución. En este caso,

       su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto

       en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones

       significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución

       en común.

Partiendo de los conceptos anteriores y del siguiente ejemplo vamos a ver las formas básicas de resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Ejemplo 1 Dos empresas de telefonía celular  facturan así:

Empresa 1: $ 200 por cada minuto y una cuota fija de $ 4.000

Empresa 2: $ 100 por cada minuto y una cuota fija de $ 4.500

Si se consumen pocos minutos la factura de la empresa 1 tendrá menos valor y si el consumo es mucho mayor la factura de la empresa 2 tendrá el menor valor. Pero en algún punto intermedio las dos empresas tendrán una facturación igual, ¿Cuál será ese punto?

Solución:

Observemos que las ecuaciones canónicas son:

Empresa 1: 200X + 4.000

Empresa 2: 100X + 4.500

Lo que nos da el siguiente sistema de ecuaciones, de dos ecuaciones (1) y (2) con dos incógnitas ( X y Y ).

Si el sistema anterior es compatible y determinado, entonces resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.

Podemos diferenciar tres tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: el grafico, los básicos (basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas) y los avanzados (basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema).

Veamos ahora el primer método.

MÉTODO 1: GRAFICO

Una vez planteado el sistema de ecuaciones procedemos a elaborar una tabla de valores correspondiente a cada función y luego la graficamos, así:

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Y = 200X + 4.000	4.000	4.200	4.400	4.600	4.800	5.000	5.200	5.400
Y = 100X + 4.500	4.500	4.600	4.700	4.800	4.900	5.000	5.100	5.200

Graficamos Las dos funciones lineales en un solo plano cartesiano, tenemos:

Como vemos las dos rectas se cortan en x = 5  y  para el cual las dos empresas facturan lo mismo  Y = 5.000. La solución del sistema de ecuaciones lineales es ( 5 , 5.000 ).

Próximamente publico los otros metodos.